结构工程师结构力学几何组成分析例题
[例1-1] 分析图1-4(a)所示体系的几何组成。
[解] 体系的自由度W=3×3-2×2-5=0。根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A、C处，并将地基作为刚片I，将杆件BEFG作为刚片Ⅱ(图1-4(b))，刚片I和Ⅱ由支座链杆B、等效链杆AE、CG相连接，这三根链杆不相交于一点，体系是几何不变的，且无多余约束。
[例1-2] 分析图1-5(a)所示体系的几何组成。
[解] 体系的自由度W=3×10—2×12—6=0。将地基并连同杆件ACG、BFJ作为刚片I、杆件DH、EI作为刚片Ⅱ、Ⅲ(图1-5(b))，则刚片I、Ⅱ、Ⅲ由三个虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，其中虚铰(ⅡⅢ)由一组平行链杆形成，而虚铰(IⅡ)、(IⅢ)的连接线平行于形成虚铰(ⅡⅢ)的两根平行链杆，可视为三虚铰在同一直线上，体系为瞬变体系。
[例1-3] 分析图1-6(a)所示体系的几何组成。
[解] 体系的自由度W=3×8—2×10-4=0。根据两元片规则，将地基延伸至固定铰A处，并将地基作为刚片I，将CEF作为等效刚片Ⅱ，DB杆作为刚片Ⅲ，这三个刚片由三个虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，如图1-6(b)所示。因形成无穷远处的两个虚铰(IⅢ)、(ⅡⅢ)的两组平行链杆不相互平行，故体系是无多余约束的几何不变体。
[例1-4] 分析图1-7(a)所示体系的几何组成。
[解] 体系的自由度W=3×9—2×12—3=0。根据一元片规则，去除图1-7(a)所示体系的一元片，得图1-7(b)所示体系。再将杆件AB、CE、DF分别作为刚片I、Ⅱ、ⅡⅢ，这三个刚片由三组平行链杆形成的三个无穷远处的虚铰(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)两两相连，根据三刚片连接规则，体系为无多余约束的几何可变体系(无穷远处的三个点在一广义直线上)。
[例2-1] 求作图2-4(a)所示静定多跨梁的弯矩图和剪力图。
图2-4
[解] 层叠图如图2-4(b)所示。各附属部分、基本部分的计算过程如图2-4(c)所示。弯矩图和剪力图分别如图2-4(d)所示。其中剪力图的正、负号规定与材料力学中的规定相同。
容易看出，当跨度和荷载均相同时，静定多跨梁的弯矩比简支梁的弯矩小，并且只要调整静定多跨梁中间铰的位置，就可使梁的各截面弯矩值的相对比值发生变化，这是静定多跨梁的优点。但由于中间铰的存在，构造就复杂一些。
[例2-2] 绘制图2-5(a)所示刚架的弯矩、剪力、轴力图。
图2-5
[解] (1)计算支座反力
根据刚架的整体平衡条件，由
ΣX=0，得HA=4qa;
ΣMA=0，得VB=2qa;
ΣY=0，得VA=2qa。
(2)计算各杆端截面的弯矩、剪力、轴力。由截面法可得各杆端截面的内力值为：
AC杆：MAC=0，MCA=16qa2(左侧受拉);VAC=4qa，VCA=—12qa;NAC=2qa，
NCA=2qa(轴力以拉力为正)。
BE杆：MBD=0，MDB=18qa2(右侧受拉);VBD=—1.2qa，VDB=8.4qa;NBD=—1.6qa，NDB=—8.8qa。
CD杆：MCD=16qa2(上侧受拉)，MDC=24qa2(上侧受拉);VCD=—2qa，VDC=—2qa;
NCD=—12qa，NDC=—12qa。
(3)作弯矩、剪力、轴力图
根据上述计算结果及各杆的荷载情况，应用直杆弯矩图的叠加法，并按照内力图的特 征，就可作出刚架的M、V、N图，分别如图2—5(b)、(c)、(d)所示。
(4)校核
为校核平衡条件，可任取刚架的某些局部为隔离体，如图2-5(e)所示的隔离体，满 足平面一般力系的三个平衡条件：
ΣX=0;
ΣM=0;
ΣY=0。
图2—5(f)所示结点D隔离体，满足平面一般力系的三个平衡条件：
ΣX=0;
ΣMD=0;
ΣY=0。
[例2-3] 用节点法求图2—13a所示桁架各杆轴力。
[解]
(1)求支座反力
由整体平衡条件，得VA=80kN，HA=0，VB=100kN。
(2)求桁架各杆轴力
从只含两个未知力的节点A(或节点B)开始，再依次分析邻近节点。
节点A(图2—13b)，设未知轴力为拉力，并采用NA2的水平分力XA2或竖向分力YA2作为未知数，则由
ΣY=0，得YA2=-VA=—80kN
再由式(2—9)得
XA2=-60kN
NA2=—100kN
再由ΣX=0，得NAl=60kN
节点1(图2—13c)，由该节点的平衡条件可得N14=60kN(拉力)，N12=40kN(拉力)。
依次再考虑节点2、3、4、5、6、7，每—结点不超过两个未知力。至最后节点B时，各杆轴力均为已知，可据此节点是否满足平衡条件作为内力计算的校核。各杆轴力计算的结果标注在图2—13a上，拉力为正，压力为负。
[例2-4] 用截面法求图2—14a所示桁架中a、b、c、d、e各杆的内力。
[解]
(1)求支座反力
由桁架的整体平衡条件得VA=VB=1.5P，HA=0。
(2)求Na、Nb
作截面I—I，取图2—14b所示隔离体，由ΣY=0，得Na=—0.5P(压力);由ΣM2=0，得Nb=2.25P(拉力)。
(3)求NC
在结间34内作竖向截面，取右隔离体，由ΣY=0，得YC=0.5P，即NC=0.625P(拉力)。
(4)求Nd、Ne。
作截面Ⅱ—Ⅱ，取图2—14c所示隔离体，由ΣMk=0，得Nd=0.25P(拉力)。再由ΣM4=0，得Ne=—2.37P(压力)。
图2-14
图2-15
对于图2—15a所示的桁架，求出支座反力后，再根据其几何组成关系，可知EDCB与E'D'C'A两部分之间，由三根不相交于一点的链杆AE、BE'、CC'相连，故可通过该三杆作截面取图2—15b所示隔离体，由力矩平衡方程先求出NEA(或NBE'或NCC')，进而再求其他各杆轴力。
例2-5] 求作图2—17a所示组合结构的弯矩、剪力、轴力图。
图2-17
[解] 此组合结构中，除AC、BC杆为受弯杆件外，其余均为轴力杆。
(1)求支座反力
由整体平衡条件，得VA=VB=75kN，HA=0。
(2)通过铰C作I—I截面，由该截面左边隔离体的平衡条件ΣMc=0，得NDE=135kN(拉力);由ΣY=0，Qc=—15kN;由ΣX=0，得NC=—135kN(压力)。
(3)分别由结点D、E的平衡条件，得NDA=NEB=151kN(拉力)，NDF=NEG=67.5kN(压力)。
(4)根据铰C处的剪力Qc及轴力Nc，并按直杆弯矩图的叠加法就可绘出受弯杆AFC、BGC的弯矩图。
(5)M、Q、N图分别如图2—17b、c、d所示。
[例3—1] 求图3—1a所示桁架结点3的竖向位移Δ3V ，各杆EA相同，E=21000kN/cm2，A=100cm2。
[解] 虚设状态如图3—1b所示，求出实际状态(图3—1a)和虚设状态中各杆的轴力Np和Ni后，即可由式(3-5)求得Δ3V 为
所得结果为正，表示结点3的竖向位移的实际方向为向下。
[例3—2] 图3—2a所示为半径为R的等截面圆弧形曲杆，杆的横截面为矩形，高度为h，宽度为b，材料的弹性模量为E，剪变模量G=0.4E。试求B点的竖向位移ΔBV。要求同时考虑弯曲变形、轴向变形、剪力变形的影响，并比较各部分对位移影响的大小。计算中不考虑杆件曲率的影响。
图3-2
[解] (1)虚设状态如图3—2a所示。
(2)实际状态和虚设状态中任意截面C的内力方程为
(3)将各内力方程及ds=Rdφ代人式(3—4)，积分后得：
将k=1.2，G=0.4E代人上式，得
上式等号右边括号内的第一、第二、第三项分别为弯曲变形、轴向变形、剪切变形对 位移的影响。可见，当h/R较小时，轴向变形、剪切变形对位移的影响相对于弯曲变形对位移的影响甚小，通常可忽略不计。所得结果为正，表示B点竖向位移的实际方向与Pi=1的指向相同。
[例3-3] 试求图3-5a所示结构D点的竖向线位移ΔDV和铰C左、右两侧截面的相对转角θcc，并讨论当轴力杆EF改为刚度系数为kN的弹性支撑后(图3—5e)，ΔDV及θcc如何计算。
[解]
图3-5
(1)MP图、EF杆轴力Np，以及求ΔDV及θcc的虚设状态和相应的Mi、Ni分别如图3—5b、c、d所示。
(2)应用组合结构的简化位移计算公式(3—7)，并用图形相乘法，得
(3)讨论
对图3-5f所示的体系，只要将上面ΔDV及θcc中最后一项轴力杆的柔度系数改为弹性支撑的柔度系数(其他各项均相同)，就可得到该体系的ΔDV及θcc。
[例3—4] 图3—7所示刚架施工时的温度为300C，冬季外侧温度为—200C，内侧温度为100C，各杆截面相同，均为矩形截面，截面高度为h，材料的线膨胀系数为α。试求刚架在冬季温度时B点的水平位移ΔBH。
[解]
各杆外侧温度变化为
t1=—20—30=—500C
内侧温度变化为
t2=10—30=—200C
于是得各杆的t0、Δt为
t0=(t1+t2)/2=—350C
Δt=300C
虚设状态的Mi及Ni图分别如图3—7b、c所示。由式(3—12)，得
ΔBH=35αl—60αl2/h
在计算中应注意各项正、负号的确定。
图3-7
图3-8
[例3—5] 图3—8a所示桁架的六根下弦杆制造时比设计长度均缩短了ue=2cm，试求桁架在拼装后结点C的竖向位移Δcv。
[解] 虚设状态如图3—8b所示，求出有制造误差的各下弦杆的轴力N后，就可按变形体系虚功原理得
因为各下弦杆的制造误差均为缩短，而虚设状态中各下弦杆均为受拉，两者方向相反，故计算结果为负号，表示C点的竖向位移的实际方向为向上，即C点向上的起拱度为10cm。